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Fourier

ここではフーリエ級数展開からフーリエ変換の導出までを解説していきます. 高校でしっかり数学を勉強している方ならば, 本稿のみでフーリエ変換の定義に至ることができるでしょう. 所々分からないことがありましたら, 詳細は各リンクをご参照ください.

フーリエ級数展開

概要

フーリエ級数展開とは何か?を理解するためにはマクローリン展開と並べて眺めることが効果的です.

マクローリン展開は「とある関数を $x^n$ ($n$ は整数) の多項式に変換する操作」でした.

$$ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n $$

テイラー展開, マクローリン展開とは何か?

任意の関数を別の関数の線形和に変換する操作はマクローリン展開だけではありません. 「三角関数の線形和に変換する」ことも可能で, これがフーリエ級数展開です.

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx} ) $$

$$ a_n = \frac{1}{ \pi } \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos{nt} dt, \;\;(n=0, 1, 2, 3, \cdots)$$

$$ b_n = \frac{1}{ \pi } \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin{nt} dt, \;\; (n=0, 1, 2, 3, \cdots) $$

$ a_n $, $ b_n $ は各項の係数であり, それぞれ cos関数と sin関数にくっついているので, $ a_n $ をフーリエ余弦係数, $ b_n $ をフーリエ正弦係数と呼びます.

フーリエ級数展開は三角関数で展開する関係上, 三角関数の持つ周期性に縛られます. 後述する方法で回避できますが, 基本的には「周期 2$\pi$ の周期関数」でなければ, フーリエ級数展開はできません.

フーリエ級数展開とは何か? (マクローリン展開とのアナロジーでざっくり解説)

証明

上記の通りに係数を決定することで, フーリエ級数展開はできます. 実用上はそれだけで十分なのですが, 証明をせずに公式を使うのは気持ち悪い, という方は証明をやってみると良い勉強になります. フーリエ変換も理解しやすくなるでしょう.

フーリエ級数展開が元の関数と一致することを証明するのは実は大変で, 以下のような流れで証明することができます.

図 フーリエ級数展開証明フロー

フーリエ級数展開が自身と一致することの証明:ジョルダン・ルベーグの定理

様々なフーリエ級数展開

三角関数は周期性を持つため, 「周期 2$\pi$ の周期関数」にしか使えない, というルールがあるのですが, 元の関数に手を加えたり, 変数変換をうまく使うことで「非周期関数」や「周期が 2$\pi$ でない関数」においてもフーリエ級数展開できます.

非周期関数と周期2πでない周期関数のフーリエ級数展開

また, オイラーの公式を使うことで, フーリエ級数展開をもっと綺麗に書くことができます. これを指数関数型の(もしくは, 複素形式の)フーリエ級数展開と呼びます.

指数関数型のフーリエ級数展開を導入する理由は「美の追求」では勿論なく, 後述のフーリエ変換の前準備です.

複素形式のフーリエ級数展開とは何か

フーリエの積分公式

フーリエ級数展開は「とある関数を三角関数の無限線形和(級数)に変換する」という操作でした. 級数とは「離散的な値の和」なのですが, 限定的な状況下においては「連続する値の和」で変換することもできます. 「連続する値の和」とは何かというと, それはまさしく「積分」です.

フーリエの積分公式(三角関数型)

$ f(x) \in L^1 (\mathbb{R}) $ かつ, 区分的に滑らかであるとき,

$$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \bigg( \int_{- \infty}^{ \infty } f( \xi ) \cos{ \omega (x- \xi )} \; d \xi \bigg) d \omega $$

が成り立つ.

「フーリエの積分公式」とは「とある関数を三角関数の積分で表す方法」のことなのです.

フーリエの積分公式がどうやって導出されるのかは以下の記事をご覧ください.

フーリエ変換まであと一歩!フーリエの積分公式

フーリエ変換

定義

上記「指数関数型(複素形式)のフーリエ級数展開」と「フーリエ積分」を組み合わせると, 「指数関数型のフーリエ積分」が出来上がります.

$$ f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \bigg[ \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi ) \; e^{- i \omega \xi } \; d \xi \; \bigg] e^{i \omega x } d \omega $$

この中の

$$ \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi ) \, e^{- i \omega \xi } \, d \xi $$

の部分を「フーリエ変換」と呼びます. これがフーリエ変換の定義です.

フーリエ変換の定義

$$ \mathcal{F}[f] \, (\omega) = \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi ) \; e^{- i \omega \xi } \; d \xi $$

フーリエ級数展開の係数に対応するのが, フーリエ積分におけるフーリエ変換の部分です. 両者を並べてじっくり眺めまわすとちょっと分かりやすくなります.

\begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \bigg[ \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi ) \; e^{- i \omega \xi } \; d \xi \; \bigg] e^{i \omega x } d \omega \\ f(x) &=& \frac{1}{2 \pi} \sum_{m= – \infty}^{\infty} \bigg( \int_{- \pi}^{\pi} f(\xi ) e^{-im \xi } d \xi \bigg) e^{imx} \end{eqnarray}

詳しくは以下の記事をご参照ください.

フーリエ変換とは何か?指数関数型のフーリエ積分とフーリエ変換の定義

性質

$$ \mathcal{F}[f] \, (\omega) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi ) \; e^{- i \omega \xi } \; d \xi $$

これがフーリエ変換

$$ \mathcal{F}^{-1}[f] \, (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi ) \, e^{- i x \xi } \, d \xi $$

これがフーリエ逆変換です. 前に係数が付いてたり, 変数が入れ替わったりしています.

とある関数をフーリエ変換し, さらに逆フーリエ変換すると元の関数に戻ります. 便利な操作です. 本当にそうなるのかは以下の記事をご参照ください.

フーリエ逆変換とフーリエ変換の諸性質

まとめ

以上, フーリエ変換についてでした.

高校の知識と本稿だけでフーリエ変換の定義まで漕ぎつけられたわけですが, いかがでしょう. だから何?って感じしませんかね.

「フーリエ変換ってそういう形してるんだぁ. . . . . で?」と思っても頂けると幸いです.

そうなんです. これだけ知ってても何の役にも立たないんですよ. 正確に言えば「役に立つ道具を手に入れただけで, この道具が何の役に立つのか, どうやって使うのかが分からない状態」です. 本稿はその辺りに全く触れていません.

実は, フーリエ変換とは「波の時間と周波数を変換する道具」なのですが, これは信号解析や結晶解析でフーリエ変換を使って初めて気付けます. フーリエ変換のイデアはもう少し先です.

本サイトでは, フーリエ変換の物理的意味を理解できるよう, 今後とも関連する記事を上げていきたいと思っていますが, ちょっと先になるやもしれません. どうぞよろしく.

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