複素形式のフーリエ級数展開とは何か
フーリエ級数展開の式
$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} $$
は, 三角関数の多項式で表されますが, オイラーの公式を使って複素数に変換すると, 複素形式で表すことができます.
複素形式のフーリエ級数展開は, 後のフーリエ変換のときにも非常に重要になって参りますので, ここで押さえておきましょう.
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普通のフーリエ級数展開（復習）
複素形式のフーリエ級数展開をやる前に, 普通のフーリエ級数展開を復習しておきたいと思います.
区間 \( [ – \pi , \pi ] \) で定義された区分的に滑らかな実関数 \( f(x) \) を考えます（以降登場する \( f(x) \) も全て, 区間 \( [ – \pi , \pi ] \) で区分的に滑らかな実関数とします）.
この関数をフーリエ級数展開したときの係数は
\begin{eqnarray} a_0 &=& \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \; dx \\ a_m &=& \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \cos{mx} \; dx \\ b_m &=& \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin{mx} \; dx \end{eqnarray}
で, フーリエ級数展開は
$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} $$
と表せます. 詳しくは下の記事を参照下さい.
フーリエ級数展開とは何か？ (マクローリン展開とのアナロジーでざっくり解説)
複素形式のフーリエ級数展開
本題の複素形式です. 結論から述べますと,
$$ \dot{A_m} = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) e^{-imx} dx $$
と置いて, 無限和
$$ \sum_{m= – \infty}^{\infty} \dot{A_m} e^{imx} $$
を考えると,
$$ \sum_{m= – \infty}^{\infty} \dot{A_m} e^{imx} = \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} \right) $$
となります. ということで,
$$ f(x) \sim \sum_{m= – \infty}^{\infty} \dot{A_m} e^{imx} $$
を複素形式のフーリエ級数展開と呼びます.
本当にこうなるのかを確かめるために, 以下で計算してみます.
オイラーの公式
ここから, オイラーの公式を使います. オイラーの公式は三角関数と指数関数を複素数で繋ぐ公式です.
$$ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $$
オイラーの公式の詳細は以下の記事をご参照のこと.
複素指数関数の定義を考え、オイラーの公式を導出 (証明)する
計算（証明）
では, オイラーの公式を使って実際に計算してみます. 示したいのは,
$$ \sum_{m= – \infty}^{\infty} \dot{A_m} e^{imx} = \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} \right) $$
です. オイラーの公式より,
\begin{eqnarray} e^{imx} &=& \cos{mx} + i \sin{mx} \\ e^{-imx} &=& \cos{(-mx)} + i \sin{(-mx)} \\ &=& \cos{mx} – i \sin{mx} \end{eqnarray}
よって,
\begin{eqnarray} \dot{A_m} &=& \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \cdot \left( \cos{mx} -i \sin{mx} \right) \; dx \\ &=& \frac{1}{2 \pi} \left[ \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \cos{mx} \; dx – i \int_{- pi}^{\pi} f(x) \sin{mx} \; dx \right] \\ &=& \frac{1}{2 \pi} \left( \pi a_m -i \pi b_m \right) \\ &=& \frac{1}{2} \left( a_m -i b_m \right) \end{eqnarray}
となり,
\begin{eqnarray} \dot{A_m} e^{imx} &=& \frac{1}{2} \left( a_m – i b_m \right) \; \left( \cos{mx} + i \sin{mx} \right) \\ &=& \frac{1}{2} \left\{ \left( a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} \right) +i \left( a_m \sin{mx} – b_m \cos{mx} \right) \right\} \end{eqnarray}
となります. 同様に,
\begin{eqnarray} \dot{A_{-m}} e^{i(-m)x} &=& \frac{1}{2} \left( a_m + i b_m \right) \; \left( \cos{mx} -i \sin{mx} \right) \\ &=& \frac{1}{2} \left\{ \left( a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} \right) +i \left( – a_m \sin{mx} + b_m \cos{mx} \right) \right\} \end{eqnarray}
となります. 2つを足すと, 虚部が消えて,
$$ \dot{A_m} e^{imx} + \dot{A_{-m}} e^{i(-m)x} = a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} $$
となります. よって,
$$ \dot{A_0} \; e^0 + \sum_{m=1}^{\infty} \left( \dot{A_m} e^{imx} + \dot{A_{-m}} e^{i(-m)x} \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} \right) $$
であり, 書き換えると,
$$ \sum_{m= – \infty}^{\infty} \dot{A_m} e^{imx} = \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos{mx} + b_m \sin{mx} \right) $$
となります. 無事に示せました.
まとめ
積分の中身は複素数ですが, 虚部が消えてちゃんと綺麗になりました.
複素数が関わってくるとオイラーの公式が大活躍します. この辺りの分野を学ぶ上ではどこに行っても目にする公式なので, 流石に覚えた方がいいかもしれません.
複素形式のフーリエ級数展開はあくまでフーリエ変換への伏線です. フーリエ変換まで到達したときに, 重要性が明らかになります.
