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複素数基礎

複素数の極形式と回転

投稿日:2020年5月9日 更新日:

実数平面上の点は, 直交座標表示と, 極座標表示で表すことが可能です.

複素平面 (ガウス平面)においても直交座標で表す方法と極座標で表す方法があります.

複素数を極座標っぽく表すことを極形式と言い, 複素平面上の点の回転等々を考えるのに便利ですので, ここで解説していきます.

三角関数による複素数の表示 (極形式)

複素平面上に下図のような直角三角形OAZを考えます.

図1 複素平面上の直角三角形

複素平面についての理解が怪しい方は以下の記事をご参照ください.

点Zは複素数 $ z=a+bi $ を表し, 点Aは点Zから実軸に引いた垂線の足なので, $ z $ の実部です. 斜辺OZの長さを $ r $, OZと実軸のなす角を $ \theta $ とします.

このとき, 直角三角形OAZについて, 三角関数の定義から,

\begin{eqnarray} \cos{\theta} &=& a / r\\ \sin{\theta} &=& b / r \end{eqnarray}

です.

$ a $, $ b $ を $ r $ と $ \theta $ で表すと,

\begin{eqnarray} a &=& r \cos{\theta} \\ b &=& r \sin{\theta} \end{eqnarray}

よって, $ z=r \, \left( \cos{\theta} + i \sin{\theta} \right) $ と表すことができ, これを複素数 $ z $ の極形式と呼びます.

また, 三平方の定理から, $ a $、$ b $ と $ r $ の間には以下のような関係があることが分かります.

$$ a^2 + b^2 = r^2 (\sin^2 \rm{\theta} + \cos^2 \rm{\theta}) = r^2 $$

$$ r = \sqrt{a^2 + b^2}$$

同様に, 逆三角関数を使うと, $ \theta $ を以下のように表すことができます.

$$ \frac{b}{a} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \tan{\theta}$$
$$ \theta = \arctan{(b \, /a)} $$

回転

$ z_1 = r_1 \, (\cos{\theta _1} +i \sin{\theta _1} ) $ と \( z_2 = r_2 \, (\cos{\theta _2} +i \sin{\theta _2} ) \) という2つの複素数の掛け算について考えます.

\begin{eqnarray} z_1 \times z_2 &=& r_1 \times r_2 \times (\cos{\theta _1 + i \sin{\theta _1}}) \times (\cos{\theta _2} + i \sin{\theta _2}) \\ &=& r_1 r_2 \, \left( \cos{\theta _1} \cos{\theta _2} – \sin{\theta _1} \sin{\theta _2} + i \, (\sin{\theta _1} \cos{\theta _2} + \cos{\theta _2} \sin{\theta _1}) \right) \\ &=& r_1 r_2 \, \left( \cos{(\theta _1 + \theta _2) + i \sin{(\theta _1 + \theta _2)}} \right) \end{eqnarray}

となりました.

この計算結果を複素平面上で見てみましょう.

図2 掛け算による回転

$ z_1 $ と $ z_2 $ の積を $ z_3 $ とすると, 複素平面上の $ z_3 $ の原点からの距離は $ r_1 \times r_2 $ となり, 位相は $ \theta _1 $ から $ \theta _2 $ 進んで, $ \theta _1 + \theta _2 $ となります. 複素数の掛け算は複素平面上の点の回転を表しているのです.

絶対値が $ 1 $ である複素数を掛けた場合には, 位相のみが変化します. 位相が $ 0 $ である複素数 (すなわち実数)を掛けた場合には, 位相は変化せずに原点からの距離のみが変化します.

まとめ

極形式は回転を表すのに非常に便利です.

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