分布定数回路におけるS行列とは？S⇔Z行列相互変換とS行列の活用
本サイトではこれまで, 「Z行列」や「F行列」など, 回路の接続計算を簡単にする行列について紹介してきました.
今回紹介するのは, 分布定数回路の測定や高周波測定で使われる行列表現, 「S行列（Sパラメータ）」です.
本稿では,
- S行列とは何か？
- S行列を他の行列表現（Z行列や F行列）と相互変換する方法
- S行列はどういう場面で使われるのか？
について解説します.
Table of Contents
2端子対回路網と分布定数回路
S行列を理解するには, Z行列などの 2端子対回路網の知識と, 分布定数回路における電信方程式（伝送線路方程式）の知識, 双方が必要です.
まずは, Z行列の復習から始めます.
2端子対回路網
1本の線に見える電源ケーブルの中には「行き」と「帰り」の2本の導線が存在し, 「行き」と「帰り」を流れる電流は, 大きさが同じで向きが反対になっています.
電源ケーブルのプラグのように, 流れる電流の大きさが同じで向きが反対になっている2つの端子の組が「端子対」です. 端子対は電気回路の中に多数散見されます.
電源ケーブルであれば, 片方がコンセントに繋がっている場合, もう片方は負荷（PC 等の電化製品）に繋がっていることが一般的でしょう.
電源に繋がっている端子対は「入力端子対」, 負荷に繋がっている端子対は「出力端子対」と呼ばれます.
電源ケーブルにはこれ以外に端子対はありませんので, 2つの端子対（4つの端子）における電流と電圧の入出力が, 電源ケーブルという回路網における入出力のすべてです.
このように2つの端子対で囲まれた回路網を「2端子対回路網」または「4端子回路網」と呼びます.
Z行列
2端子対回路網の実用上重要な点は, 「2端子対回路網を構成する要素がすべて線形素子であれば, その電気的性質を \( 2 \times 2 \) の行列で表すことができる」ということです.
とある 2端子対回路網に対する入出力電圧・電流が 図1 のように与えられている場合, 電流と電圧の関係を表す \( 2 \times 2 \) の行列 Z が 1つに定まります.
\begin{eqnarray} \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, = \, Z \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \end{eqnarray}
この行列 Z の成分は, 全て単位が \( [ \Omega ] \) であるため, インピーダンス行列, または, Z行列と呼ばれます.
詳細は省きますが, 任意の回路網における Z行列を求めるにあたって, 回路の中身を把握する必要はありません. 回路に対する入出力電圧・電流を計測すれば, 回路を構成する要素がどんなものであっても（線形素子で構成されていることさえ既知ならば）, Z行列を決定することができます.
つまり, 回路の構成要素が全く分からないブラックボックスであっても, Z行列を求めることができるのです.
また, Z行列が既知の回路網があれば, 入力が分かった段階で, 出力を1つに定めることができます.
2端子対回路網や Z行列について詳しくは以下をご参照ください.
分布定数回路と電信方程式
続きまして, 分布定数回路の話です.
分布定数回路とは高周波を扱うケーブルや, 電線, 海底ケーブルなど, 「『部品サイズ』と『電流（もしくは電圧）の波長』が同程度の大きさ」となる電気部品を扱うための考え方です.
分布定数回路においては, 高校までに習っていた回路（集中定数回路と呼ぶ）と違って, 回路部品は空間に薄く広く分布しています.
分布定数回路内の電圧 \( \dot{V} (x) \) , 電流 \( \dot{I} (x) \) は以下のように記述されます.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \frac{ \mathrm{d} ^2}{ \mathrm{d} x^2} \, \dot{V} (x) = \dot{\gamma} ^2 \, \dot{V} (x) \\ \, \frac{ \mathrm{d} ^2}{ \mathrm{d} x^2} \, \dot{I} (x) = \dot{\gamma} ^2 \, \dot{I} (x) \end{array} \right. \; \cdots \; (2) \\ \rm{ } \\ \rm{ } \, \left( \dot{\gamma} ^2 = \dot{z} \dot{y} \right) \end{eqnarray}
式(2) を電信方程式, または, 伝送線路方程式と呼びます.
ここで, \( \dot{z} =r + j \omega \ell \), \( \dot{y} = g + j \omega c \), \(j\) は虚数単位, \( \omega \) は入力電圧信号の角周波数, \(r, \ell, c, g \) はそれぞれ単位長さあたりの抵抗, インダクタンス, キャパシタンス, コンダクタンスです. 回路要素はすべて単位長さ当たりの値になります.
また, \( \dot{\gamma} \) は減衰定数と呼ばれ, 波が単位長さを進んだときに, どれだけ減衰するかを表します.
導出方法, 意味するところの詳細については以下のリンクをご参照ください.
分布定数回路内の入射波と反射波
電信方程式 (2) の一般解は以下のように表せます.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V} (x) &=& \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \, + \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \\ \, \dot{I} (x) &=& \dot{z}_0 ^{-1} \; \left( \dot{A} \, e^{- \dot{\gamma} x} \, – \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (3) \\ \rm{ } \\ \rm{ } \, \left( \dot{z}_0 = \sqrt{ \dot{z} / \dot{y} } \right) \end{eqnarray}
電圧も電流も 2つの項の和で表されていて, \( \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \) の項を入射波, \( \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \) の項を反射波と呼びます. また, \( \dot{z}_0 \) は特性インピーダンスと呼ばれます.
入射波と反射波は時刻に対して進む方向が逆向きです. 反射波は分布定数回路の特性や, 回路に接続された負荷とのインピーダンス差によって生じます.
つまり, これを逆に使えば, 反射波を解析することによって, 接続された負荷の特性を調べることができるわけです. これが今回の S行列の話に繋がってきます.
分布定数回路のS行列
ここからやっと S行列の話に移ります.
S行列とは
S行列とは回路網（特に分布定数回路）の行列表現です.
回路網をブラックボックスとし, 入出力のみを考えようとする点では, S行列と他の行列表現（ Z行列や F行列）は共通しています.
S行列が他の行列表現と異なるのは, 「何を入出力とするのか」という点です.
Z行列や F行列では電流や電圧を入出力として考えましたが, S行列では「入射波と反射波」を入出力とします.
入射波の組 \( \left[ \begin{array}{cc} \; \dot{a}_{1} \\ \; \dot{a}_{2} \end{array} \right] \) と, 反射波の組 \( \left[ \begin{array}{cc} \; \dot{b}_{1} \\ \; \dot{b}_{2} \end{array} \right] \) の関係は
\begin{eqnarray} \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{S}_{11} & \dot{S}_{12} \\ \, \dot{S}_{21} & \dot{S}_{22} \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \; \cdots \; (4) \end{eqnarray}
のように表すことができ, \( S = \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{S}_{11} & \dot{S}_{12} \\ \, \dot{S}_{21} & \dot{S}_{22} \end{array} \right] \) を S行列と呼びます.
式(4) を用いると, S行列の要素はそれぞれ以下のように表されます.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{S}_{11} = \frac{\dot{b}_1}{\dot{a}_1} \Big{|} _{\dot{a}_{2} = 0} \\ \, \dot{S}_{12} = \frac{\dot{b}_1}{\dot{a}_2} \Big{|} _{\dot{a}_{1} = 0} \\ \, \dot{S}_{21} = \frac{\dot{b}_2}{\dot{a}_1} \Big{|} _{\dot{a}_{2} = 0} \\ \, \dot{S}_{22} = \frac{\dot{b}_2}{\dot{a}_2} \Big{|} _{\dot{a}_{1} = 0} \end{array} \right. \; \cdots \; (5) \end{eqnarray}
S行列とZ行列の関係
S行列と Z行列は入出力が異なるだけで, 同じ回路網を見ています. F行列と Z行列が相互に変換できたように, S行列と Z行列も相互変換可能です. 実際に変換してみましょう.
準備として, まず, 式(3) を少し変形し, 対称的で見やすい式にします.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V} (x) &=& \dot{z}_0 ^{1/2} \; \left( \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \, + \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \right) \\ \, \dot{I} (x) &=& \dot{z}_0 ^{-1/2} \; \left( \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \, – \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (6) \end{eqnarray}
式(3) と 式(6) は \( \dot{A} \) と \( \dot{B} \) が表すものが違うだけで, 全く同じ意味です.
\( x = x_{1} \) における電圧, 電流, 特性インピーダンスをそれぞれ \( \dot{V}_{1}, \dot{I}_{1}, \dot{z}_{1} \) とします. \( \dot{a}_{1} = \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x_{1}}, \dot{b}_{1} = \dot{B} e^{- \dot{\gamma} x_{1}} \) なので,
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V}_{1} &=& \dot{z}_1 ^{1/2} \; \left( \dot{a}_{1} + \dot{b}_{1} \right) \\ \, \dot{I}_{1} &=& \dot{z}_1 ^{-1/2} \; \left( \dot{a}_{1} \, – \, \dot{b}_{1} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (7) \end{eqnarray}
と表せます.
式(7) は図3 の左側の各物理量の関係を表しており, 図3 中右側の関係式も同様にして求めることができます.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V}_{2} &=& \dot{z}_2 ^{1/2} \; \left( \dot{a}_{2} \, + \, \dot{b}_{2} \right) \\ \, \dot{I}_{2} &=& \dot{z}_2 ^{-1/2} \; \left( \dot{a}_{2} \, – \, \dot{b}_{2} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (8) \end{eqnarray}
式(7) と式(8) では \(+x\) の方向が逆向きであることにご注意ください.
式(7) と 式(8)から S行列を求めるため, \( \dot{V}, \dot{I}, \dot{a}, \dot{b} \) の関係をまとめます.
\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \, \left( \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{a}_1 \\ \, \dot{a}_2 \end{array} \right] \, + \, \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{b}_1 \\ \, \dot{b}_2 \end{array} \right] \right) \, \\ \, \rm{ } \\ \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, 1/ \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & 1/ \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \, \left( \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{a}_1 \\ \, \dot{a}_2 \end{array} \right] \, – \, \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{b}_1 \\ \, \dot{b}_2 \end{array} \right] \right) \end{cases} \; \cdots \; (9) \end{eqnarray}
\( U= \, \left[ \begin{array}{cc} \, \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \), \( V = \, \left[ \begin{array}{cc} \, 1/ \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & 1/ \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \) を使って書き換えると,
\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} V \, \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, + \, \frac{1}{2} U \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} V \, \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, – \, \frac{1}{2} U \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \end{cases} \; \cdots \; (10) \end{eqnarray}
Z行列を用いれば, \( \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, = \, Z \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \) と表されるため,
\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, + \, U \right) \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \end{cases} \; \cdots \; (11) \end{eqnarray}
式(11) より,
\begin{eqnarray} \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, &=& \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left[ \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, + \, U \right) \right] ^{-1} \, \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, &=& \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \, \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \; \cdots \; (12) \end{eqnarray}
よって, \( S = \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \) のように Z行列を用いて S行列を表すことができました.
S ⇔ Z行列の相互変換
式(12) を用いることで, Z行列を S行列に変換できるわけですが, もちろん逆も可能です. S行列を用いて Z行列を表してみましょう.
まずは S行列を整理します.
\begin{eqnarray} S &=& \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \\ &=& \left( VZ \, – \, U \right) \, V \, V^{-1} \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \\ &=& \left( VZV \, – \, E \right) \, \left( VZV \, + \, E \right) ^{-1} \; \; \left( E=UV : 単位行列 \right) \; \cdots \; (13) \end{eqnarray}
S行列を更に変形して, \( Z= \cdots \) という形を目指します.
\begin{eqnarray} S \, \left( VZV \, + E \right) &=& VZV \, – \, E \\ SVZV \, + \, S &=& VZV \, -\, E \\ VZV \, – \, SVZV &=& E \, + \, S \\ \left( E \, – \, S \right) \, VZV &=& E \, + \, S \\ VZV &=& \left( E \, – \, S \right) ^{-1} \, \left( E \, + \, S \right) \\ Z &=& U \, \left( E \, – \, S \right) ^{-1} \, \left( E \, + \, S \right) \, U \; \cdots \; (14) \end{eqnarray}
以上より, Z行列を S行列で表すことができました.
S行列の活用
Z行列や F行列と異なり, 入出力が「電流と電圧」でない S行列は普通の回路の計算に使うことを目的としていません.
S行列が活躍するのは「ネットワークアナライザ」という測定機器を用いて, 分布定数回路の解析をする場合です.
ネットワークアナライザは, 高周波特性（10 GHz程度まで）を調べることを目的とした測定機器です.
ネットワークアナライザでは, 測定対象に正弦波を印加し, 各端子対における電圧の振幅と位相を測定します.
\( \dot{a}_{2} = 0 \) として, 振幅と位相を測れば, 反射係数（ = 反射波 / 入射波 = \( \dot{b}_{1} / \dot{a}_{1} = \dot{S}_{11} \) ）と伝送係数（ = 伝送波 / 入射波 = \( \dot{b}_{2} / \dot{a}_{1} = \dot{S}_{21} \) ）が求められます. 反対方向にも測定を行えば, \( \dot{S}_{22} \) と \( \dot{S}_{12} \) も求められ, S行列を決定できるという仕組みです.
ネットワークアナライザで測定した結果は S行列のパラメータを使って表示されます.
インピーダンスアナライザとネットワークアナライザの測定原理の違いについては「インピーダンスの計測と計測器 (その２) – 計測器・測定器玉手箱 | ORIX Rentec Corporation（外部リンク）」をご覧ください.
Z行列ではダメなのか？
本稿で述べた通り, S行列と Z行列は相互変換できます.
であれば, 結果を Sパラメータで表示する理由はどこにあるのでしょう？測定した結果をネットワークアナライザが内部的に処理して, Zパラメータに変換すれば済む話です.
しかし, この変換をすると「原因が分からなくなる」という問題が生じます.
例えば, Sパラメータにおいては明確な違いとして認識できる数値の変化であっても, Zパラメータにすると他の要因と混ざり, 信号が埋もれて見えなくなってしまう, ということが有り得ます. 元のデータに計算処理を施すほど, 元データの持つ意味は薄れてしまう（ように見える）のです.
上述の通り, インピーダンスアナライザ（電流と電圧の測定）とネットワークアナライザ（反射波と伝送波の測定）では測定原理が異なります. よって, それぞれが『測定しているもの』をより大きく反映する表示方法を用いるべきでしょう.
その意味では, S行列 ⇔ Z行列の相互変換は, 慎重に行わなければなりません.
まとめ
今回のまとめです.
- S行列は 2端子対回路網における入射波と反射波の関係を表す行列である.
- S行列と Z行列は相互に変換できる.
- S行列はネットワークアナライザで測定した結果を表示する際に用いられる.
