Imaginary Dive!!

複素数, 研究, 科学について

Dive into circuit!!

分布定数回路におけるS行列とは?S⇔Z行列相互変換とS行列の活用

投稿日:2021年1月16日 更新日:

本サイトではこれまで, 回路接続などの計算を簡単にしてくれる便利な道具, 「Z行列」や「F行列」を紹介してきました. 今回紹介するのは, 主に分布定数回路で使われる行列表現, 「S行列(Sパラメータ)」です.

分布定数回路計測に付随するデータ解析には, この S行列が必要不可欠ですが, その構造は複雑で, 理解しがたいものです.

本稿では, 順を追って S行列とは何なのか, を説明し, S行列を他の行列表現(Z行列や F行列)と相互変換する方法について解説します.

4端子回路網と分布定数回路

S行列を理解するには, Z行列などの4端子回路網の知識と, 分布定数回路における電信方程式(伝送線路方程式)の知識, 双方が必要です.

まずは, Z行列の復習から始めます.

4端子回路網

1本の線に見える電源ケーブルの中には「行き」と「帰り」の2本の導線が存在し, 「行き」と「帰り」を流れる電流は, 大きさが同じで向きが反対になっています.

電源ケーブルのプラグのように, 流れる電流の大きさが同じで向きが反対になっている2つの端子の組が「端子対」です. 端子対は電気回路の中に多数散見されます.

電源ケーブルであれば, 片方がコンセントに繋がっている場合, もう片方は負荷(PC 等の電化製品)に繋がっていることが一般的でしょう.

電源に繋がっている端子対は「入力端子対」, 負荷に繋がっている端子対は「出力端子対」と呼ばれます.

電源ケーブルにはこれ以外に端子対はありませんので, 2つの端子対(4つの端子)における電流と電圧の入出力が, 電源ケーブルという回路網における入出力のすべてです.

このように2つの端子対で囲まれた回路網を「2端子対回路網」または「4端子回路網」と呼びます.

Z行列

4端子回路網の実用上重要な点は, 「4端子回路網を構成する要素がすべて線形素子であれば, その電気的性質を $2 \times 2 $ の行列で表すことができる」ということです.

図1 4端子回路網と電圧・電流の関係

とある4端子回路網に対する入出力電圧・電流が 図1 のように与えられている場合, 電流と電圧の関係を表す行列 Z が 1つに定まります.

\begin{eqnarray} \left[ \begin{array} \, v_1 \\ v_2 \end{array} \right] \, = \, Z \, \left[ \begin{array} \, i_1 \\ i_2 \end{array} \right] \end{eqnarray}

この行列 Z の成分は, 全て単位が $[ \Omega ]$ であるため, インピーダンス行列, または, Z行列と呼ばれます.

詳細は省きますが, 任意の回路網におけるZ行列を求めるためには, 回路の中身を把握する必要はありません. 回路に対する入出力電圧・電流を計測すれば, 回路を構成する要素がどんなものであっても, Z行列を決定することができます.

つまり, 回路の構成要素が全く分からないブラックボックスであっても, Z行列を求めることができるのです.

逆に, Z行列が既知の回路網があれば, 入力が分かった段階で, 出力を1つに定めることができます.

4端子回路網や Z行列について詳しくは以下をご参照ください.

分布定数回路と電信方程式

続きまして, 分布定数回路の話です.

分布定数回路とは高周波を扱うケーブルや, 電線, 海底ケーブルなど, 「部品サイズと電流(もしくは電圧)の波長が同程度の大きさ」となる電気部品を扱うための考え方です.

分布定数回路においては, 高校までに習っていた回路(集中定数回路と呼ぶ)と違って, 回路部品は空間に薄く広く分布しています.

図2 分布定数回路(無限個の分布した回路要素によって構成される)

分布定数回路内の電圧 $v \, (x)$ , 電流 $i \, (x)$ は以下のように記述されます.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \frac{ \mathrm{d} ^2}{ \mathrm{d} x^2} \, v \, (x) = \gamma ^2 \, v \, (x) \\ \, \frac{ \mathrm{d} ^2}{ \mathrm{d} x^2} \, i \, (x) = \gamma ^2 \, i \, (x) \end{array} \right. \; \cdots \; (2) \\ \rm{ } \\ \rm{ } \, \left( \gamma ^2 = zy \right) \end{eqnarray}

式(2) を電信方程式, または, 伝送線路方程式と呼びます.

ここで, $z=r + j \omega \ell$, $y= g + j \omega c$, $j$ は虚数単位, $\omega$ は入力電圧信号の角周波数, $r$, $\ell$, $c$, $g$ はそれぞれ単位長さあたりの抵抗, インダクタンス, キャパシタンス, コンダクタンスです. 回路要素はすべて単位長さ当たりの値になります.

また, $\gamma$ は減衰定数と呼ばれ, 波が単位長さを進んだときに, どれだけ減衰するかを表します.

導出方法, 意味するところの詳細については以下のリンクをご参照ください.

分布定数回路内の入射波と反射波

電信方程式 (2) の一般解は以下のように表せます.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, v \, (x) &=& A \, e^{- \gamma x} \, + \, B \, e^{ \gamma x} \\ \, i \, (x) &=& z_0 ^{-1} \; \left( A \, e^{- \gamma x} \, – \, B \, e^{ \gamma x} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (3) \\ \rm{ } \\ \rm{ } \, \left( z_0 = \sqrt{ z / y } \right) \end{eqnarray}

電圧も電流も2つの項の和で表されていて, $A \, e^{- \gamma x}$ の項を入射波, $B \, e^{ \gamma x}$ の項を反射波と呼びます. また, $z_0$ は特性インピーダンスと呼ばれます.

分布定数回路内の反射波について詳しくは以下で解説しました.

分布定数回路のS行列

ここからやっと S行列の話に移ります.

S行列とは

S行列とは回路網(特に分布定数回路)を行列で表現したものです. Z行列と同じですね.

回路網というブラックボックスへの入出力のみを考えようとする点では, S行列と他の行列表現( Z行列や F行列)は共通しています.

S行列が他の行列表現と異なるのは, 「何を入出力とするのか」という点です.

Z行列や F行列では電流や電圧を入出力として考えましたが, S行列では「入射波と反射波」を入出力とします.

図3 4端子回路網における電流, 電圧と入射波, 反射波の関係

入射波の組 $\left[ \begin{array} \, a_{1} \\ \, a_{2} \end{array} \right]$ と, 反射波の組 $\left[ \begin{array} \, b_{1} \\ \, b_{2} \end{array} \right]$ の関係は

\begin{eqnarray} \left[ \begin{array} \, b_1 \\ b_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, S_{11} & S_{12} \\ \, S_{21} & S_{22} \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} \, a_1 \\ a_2 \end{array} \right] \; \cdots \; (4) \end{eqnarray}

のように表すことができ, $S = \left[ \begin{array}{cc} \, S_{11} & S_{12} \\ \, S_{21} & S_{22} \end{array} \right]$ を S行列と呼びます.

式(4) を用いると, S行列の要素はそれぞれ以下のように表すことが可能です.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, S_{11} = \frac{b_1}{a_1} \Big{|} _{a_{2} = 0} \\ \, S_{12} = \frac{b_1}{a_2} \Big{|} _{a_{1} = 0} \\ \, S_{21} = \frac{b_2}{a_1} \Big{|} _{a_{2} = 0} \\ \, S_{22} = \frac{b_2}{a_2} \Big{|} _{a_{1} = 0} \end{array} \right. \; \cdots \; (5) \end{eqnarray}

S行列とZ行列の関係

ではここから S行列と Z行列の関係を求めていきます.

S行列を導出するための準備として, まず, 式(3) を少し変形し, 対称的で見やすい式にします.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, v \, (x) &=& z_0 ^{1/2} \; \left( A \, e^{- \gamma x} \, + \, B \, e^{ \gamma x} \right) \\ \, i \, (x) &=& z_0 ^{-1/2} \; \left( A \, e^{- \gamma x} \, – \, B \, e^{ \gamma x} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (6) \end{eqnarray}

式(3) と 式(6) は $A$ と $B$ が表すものが違うだけで, 全く同じ意味です.

$x = x_{1}$ における電圧, 電流, 特性インピーダンスをそれぞれ $v_{1}$, $i_{1}$, $z_{1}$ とします. $a_{1} = A \, e^{- \gamma x_{1}}$, $b_{1} = B \, e^{- \gamma x_{1}}$ なので,

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, v_{1} &=& z_1 ^{1/2} \; \left( a_{1} \, + \, b_{1} \right) \\ \, i_{1} &=& z_1 ^{-1/2} \; \left( a_{1} \, – \, b_{1} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (7) \end{eqnarray}

と表せます.

式(7) は図3 の左側の各物理量の関係を表しており, 図3 中右側の関係式も同様にして求めることができます.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, v_{2} &=& z_2 ^{1/2} \; \left( a_{2} \, + \, b_{2} \right) \\ \, i_{2} &=& z_2 ^{-1/2} \; \left( a_{2} \, – \, b_{2} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (8) \end{eqnarray}

式(7) と式(8) では $+x$ の方向が逆向きであることにご注意ください. また, 特性インピーダンスを $z_1$, $z_2$ と置いたのは, 対象とする回路網の外側の線路が一般には違う線路を表すためです.

式(7) と 式(8)から S行列を求めるため, $v$, $i$, $a$, $b$ の関係をまとめます.

\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, v_1 \\ v_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, \sqrt{ z_1 } & 0 \\ \, 0 & \sqrt{ z_2 } \end{array} \right] \, \left( \left[ \begin{array} \, a_1 \\ \, a_2 \end{array} \right] \, + \, \left[ \begin{array} \, b_1 \\ \, b_2 \end{array} \right] \right) \, \\ \, \rm{ } \\ \left[ \begin{array} \, i_1 \\ i_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, 1/ \sqrt{ z_1 } & 0 \\ \, 0 & 1/ \sqrt{ z_2 } \end{array} \right] \, \left( \left[ \begin{array} \, a_1 \\ \, a_2 \end{array} \right] \, – \, \left[ \begin{array} \, b_1 \\ \, b_2 \end{array} \right] \right) \end{cases} \; \cdots \; (9) \end{eqnarray}

$U= \, \left[ \begin{array}{cc} \, \sqrt{ z_1 } & 0 \\ \, 0 & \sqrt{ z_2 } \end{array} \right]$, $V= \, \left[ \begin{array}{cc} \, 1/ \sqrt{ z_1 } & 0 \\ \, 0 & 1/ \sqrt{ z_2 } \end{array} \right] $ を使って書き換えると,

\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, a_1 \\ a_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} V \, \left[ \begin{array} \, v_1 \\ v_2 \end{array} \right] \, + \, \frac{1}{2} U \, \left[ \begin{array} \, i_1 \\ i_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, b_1 \\ b_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} V \, \left[ \begin{array} \, v_1 \\ v_2 \end{array} \right] \, – \, \frac{1}{2} U \, \left[ \begin{array} \, i_1 \\ i_2 \end{array} \right] \end{cases} \; \cdots \; (10) \end{eqnarray}

Z行列を用いれば, $ \left[ \begin{array} \, v_1 \\ v_2 \end{array} \right] \, = \, Z \, \left[ \begin{array} \, i_1 \\ i_2 \end{array} \right] $ と表されるため,

\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, a_1 \\ a_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, + \, U \right) \, \left[ \begin{array} \, i_1 \\ i_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, b_1 \\ b_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left[ \begin{array} \, i_1 \\ i_2 \end{array} \right] \end{cases} \; \cdots \; (11) \end{eqnarray}

式(11) より,

\begin{eqnarray} \, \left[ \begin{array} \, b_1 \\ b_2 \end{array} \right] \, &=& \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left[ \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, + \, U \right) \right] ^{-1} \, \left[ \begin{array} \, a_1 \\ a_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, b_1 \\ b_2 \end{array} \right] \, &=& \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \, \left[ \begin{array} \, a_1 \\ a_2 \end{array} \right] \; \cdots \; (12) \end{eqnarray}

よって, $S = \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} $ のように Z行列を用いて表すことができました.

S ⇔ Z行列の相互変換

式(12) を用いることで, Z行列を S行列にすることができるわけですが, もちろん逆も可能です. S行列を用いて Z行列を表してみましょう.

まずは S行列を整理します.

\begin{eqnarray} S &=& \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \\ &=& \left( VZ \, – \, U \right) \, V \, V^{-1} \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \\ &=& \left( VZV \, – \, E \right) \, \left( VZV \, + \, E \right) ^{-1} \; \; \left( E=UV : 単位行列 \right) \; \cdots \; (13) \end{eqnarray}

S行列を更に変形して, $Z= \cdots$ という形を目指します.

\begin{eqnarray} S \, \left( VZV \, + E \right) &=& VZV \, – \, E \\ SVZV \, + \, S &=& VZV \, -\, E \\ VZV \, – \, SVZV &=& E \, + \, S \\ \left( E \, – \, S \right) \, VZV &=& E \, + \, S \\ VZV &=& \left( E \, – \, S \right) ^{-1} \, \left( E \, + \, S \right) \\ Z &=& U \, \left( E \, – \, S \right) ^{-1} \, \left( E \, + \, S \right) \, U \; \cdots \; (14) \end{eqnarray}

以上より, Z行列を S行列で表すことができました.

S行列の活用

Z行列や F行列と異なり, 入出力が「電流と電圧」でない S行列は大変使い辛い形をしています.

分布定数回路を扱う場合に, 電流, 電圧を逐一 入射波と反射波に書き直し, S行列を使って計算をするのは非合理的です.

S行列は Z行列や F行列のように「計算を簡単化するためのもの」ではありません.

S行列が活躍するのは「ネットワークアナライザ」という測定機器を用いて, 分布定数回路の解析をする場合です.

図4 ネットワークアナライザ概念図

ネットワークアナライザは4端子回路網のための測定機器で, 高周波特性( 10 GHz程度まで)の測定に適しています.

測定対象に正弦波を印加し, 各端子対における電圧の振幅と位相を測定します.

振幅と位相が分かれば, $a_{2} = 0$ のときの反射係数( = 反射波 / 入射波 = $b_{1} / a_{1} $ = $S_{11}$ )と伝送係数( = 伝送波 / 入射波 = $b_{2} / a_{1} $ = $S_{21}$ )が求められます. 反対方向にも測定を行えば, $S_{22}$ と $S_{12}$ も求められ, S行列を決定できるという仕組みです.

上述した S行列 ⇔ Z行列の変換をすることで, Z行列や F行列を決定することもできます.

S行列はネットワークアナライザの測定から得られる「(人間にとっては)わけの分からないデータ」を「分かりやすく, 意味のあるデータ」に変換する役割を担うのです.

まとめ

S行列は回路網を行列で表現し, 人間にとって有意なデータを作り出すための「道具」です. S行列を使うことで, 測定結果の解析はとても簡単になります.

実際にネットワークアナライザを使う際に, S行列の知識が必要かと言えば, 恐らく無くても何とかなるでしょう. S行列に関する複雑な計算はネットワークアナライザが内部で勝手に実行して, 分かりやすいデータを提示してくれます.

しかし, 未知の部品を測定するとき, 画面に表示される特性が妥当で合理的なものなのかを判断するためには, 必ず, 大元のデータに立ち返らなければなりません.

S行列に関する知識が必要になるのは, その時です.

-Dive into circuit!!
-, , , , , , , , ,

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

関連記事

正弦波交流が用いられる理由

一定周期で向きを変える電流を交流と呼び, 三角波, のこぎり波, 方形波など色々な種類があります. しかしながら, 電線を流れる電流やコンセントから取り出される電流は世界中どこでも「正弦波」. 交流と …

交流理論のための直流回路基礎

複素数は交流回路を取り扱うときに大変役に立つ概念でして, 当サイトでその辺りのことを解説していこうと思うのですが, 後々のことを考えて中学レベルの直流回路の基本を押さえておこうと思います. 高校物理を …

n端子対回路網の行列表現とZ行列・F行列・S行列の相互変換

2端子対回路網(4端子回路網)を拡張したものが n端子対回路網という考え方です. 入力端子対や出力端子対が複数存在する回路の解析を容易にします. 本稿では n端子対回路網における Z行列, S行列, …

複素インピーダンスの表示:Cole-Cole plot と Bode plot

複素インピーダンスを図示する方法は特殊です. 普段論文などで図表を見慣れている人であってもこの分野の知識が無ければ混乱してしまうでしょう. 複素インピーダンスの図がややこしい理由は以下の3点に集約され …

複素電力とは?複素電力の使い方

前回インピーダンスとのアナロジーを使って, 複素電力の定義に「電流フェーザの複素共役」が現れる理由を解説しました. 今回は複素電力に関係する用語(実効電力, 無効電力, 皮相電力)に触れつつ, 複素電 …