分布定数回路におけるS行列とは？S⇔Z行列相互変換とS行列の活用

本サイトではこれまで, 「Z行列」や「F行列」など, 回路の接続計算を簡単にする行列について紹介してきました.

今回紹介するのは, 分布定数回路の測定や高周波測定で使われる行列表現, 「S行列（Sパラメータ）」です.

本稿では,

• S行列とは何か？
• S行列を他の行列表現（Z行列や F行列）と相互変換する方法
• S行列はどういう場面で使われるのか？

について解説します.

2端子対回路網と分布定数回路

S行列を理解するには, Z行列などの 2端子対回路網の知識と, 分布定数回路における電信方程式（伝送線路方程式）の知識, 双方が必要です.

まずは, Z行列の復習から始めます.

2端子対回路網

1本の線に見える電源ケーブルの中には「行き」と「帰り」の2本の導線が存在し, 「行き」と「帰り」を流れる電流は, 大きさが同じで向きが反対になっています.

電源ケーブルのプラグのように, 流れる電流の大きさが同じで向きが反対になっている2つの端子の組が「端子対」です. 端子対は電気回路の中に多数散見されます.

電源ケーブルであれば, 片方がコンセントに繋がっている場合, もう片方は負荷（PC 等の電化製品）に繋がっていることが一般的でしょう.

電源に繋がっている端子対は「入力端子対」, 負荷に繋がっている端子対は「出力端子対」と呼ばれます.

電源ケーブルにはこれ以外に端子対はありませんので, 2つの端子対（4つの端子）における電流と電圧の入出力が, 電源ケーブルという回路網における入出力のすべてです.

このように2つの端子対で囲まれた回路網を「2端子対回路網」または「4端子回路網」と呼びます.

Z行列

2端子対回路網の実用上重要な点は, 「2端子対回路網を構成する要素がすべて線形素子であれば, その電気的性質を \( 2 \times 2 \) の行列で表すことができる」ということです.

とある 2端子対回路網に対する入出力電圧・電流が 図1 のように与えられている場合, 電流と電圧の関係を表す \( 2 \times 2 \) の行列 Z が 1つに定まります.

\begin{eqnarray} \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, = \, Z \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \end{eqnarray}

この行列 Z の成分は, 全て単位が \( [ \Omega ] \) であるため, インピーダンス行列, または, Z行列と呼ばれます.

詳細は省きますが, 任意の回路網における Z行列を求めるにあたって, 回路の中身を把握する必要はありません. 回路に対する入出力電圧・電流を計測すれば, 回路を構成する要素がどんなものであっても（線形素子で構成されていることさえ既知ならば）, Z行列を決定することができます.

つまり, 回路の構成要素が全く分からないブラックボックスであっても, Z行列を求めることができるのです.

また, Z行列が既知の回路網があれば, 入力が分かった段階で, 出力を1つに定めることができます.

2端子対回路網や Z行列について詳しくは以下をご参照ください.

2端子対回路概説

分布定数回路と電信方程式

続きまして, 分布定数回路の話です.

分布定数回路とは高周波を扱うケーブルや, 電線, 海底ケーブルなど, 「『部品サイズ』と『電流（もしくは電圧）の波長』が同程度の大きさ」となる電気部品を扱うための考え方です.

分布定数回路においては, 高校までに習っていた回路（集中定数回路と呼ぶ）と違って, 回路部品は空間に薄く広く分布しています.

分布定数回路内の電圧 \( \dot{V} (x) \) , 電流 \( \dot{I} (x) \) は以下のように記述されます.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \frac{ \mathrm{d} ^2}{ \mathrm{d} x^2} \, \dot{V} (x) = \dot{\gamma} ^2 \, \dot{V} (x) \\ \, \frac{ \mathrm{d} ^2}{ \mathrm{d} x^2} \, \dot{I} (x) = \dot{\gamma} ^2 \, \dot{I} (x) \end{array} \right. \; \cdots \; (2) \\ \rm{ } \\ \rm{ } \, \left( \dot{\gamma} ^2 = \dot{z} \dot{y} \right) \end{eqnarray}

式(2) を電信方程式, または, 伝送線路方程式と呼びます.

ここで, \( \dot{z} =r + j \omega \ell \), \( \dot{y} = g + j \omega c \), \(j\) は虚数単位, \( \omega \) は入力電圧信号の角周波数, \(r, \ell, c, g \) はそれぞれ単位長さあたりの抵抗, インダクタンス, キャパシタンス, コンダクタンスです. 回路要素はすべて単位長さ当たりの値になります.

また, \( \dot{\gamma} \) は減衰定数と呼ばれ, 波が単位長さを進んだときに, どれだけ減衰するかを表します.

導出方法, 意味するところの詳細については以下のリンクをご参照ください.

分布定数回路と電信方程式

分布定数回路内の入射波と反射波

電信方程式 (2) の一般解は以下のように表せます.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V} (x) &=& \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \, + \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \\ \, \dot{I} (x) &=& \dot{z}_0 ^{-1} \; \left( \dot{A} \, e^{- \dot{\gamma} x} \, – \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (3) \\ \rm{ } \\ \rm{ } \, \left( \dot{z}_0 = \sqrt{ \dot{z} / \dot{y} } \right) \end{eqnarray}

電圧も電流も 2つの項の和で表されていて, \( \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \) の項を入射波, \( \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \) の項を反射波と呼びます. また, \( \dot{z}_0 \) は特性インピーダンスと呼ばれます.

入射波と反射波は時刻に対して進む方向が逆向きです. 反射波は分布定数回路の特性や, 回路に接続された負荷とのインピーダンス差によって生じます.

つまり, これを逆に使えば, 反射波を解析することによって, 接続された負荷の特性を調べることができるわけです. これが今回の S行列の話に繋がってきます.

電信方程式：線路内の反射波について

分布定数回路のS行列

ここからやっと S行列の話に移ります.

S行列とは

S行列とは回路網（特に分布定数回路）の行列表現です.

回路網をブラックボックスとし, 入出力のみを考えようとする点では, S行列と他の行列表現（ Z行列や F行列）は共通しています.

S行列が他の行列表現と異なるのは, 「何を入出力とするのか」という点です.

Z行列や F行列では電流や電圧を入出力として考えましたが, S行列では「入射波と反射波」を入出力とします.

入射波の組 \( \left[ \begin{array}{cc} \; \dot{a}_{1} \\ \; \dot{a}_{2} \end{array} \right] \) と, 反射波の組 \( \left[ \begin{array}{cc} \; \dot{b}_{1} \\ \; \dot{b}_{2} \end{array} \right] \) の関係は

\begin{eqnarray} \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{S}_{11} & \dot{S}_{12} \\ \, \dot{S}_{21} & \dot{S}_{22} \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \; \cdots \; (4) \end{eqnarray}

のように表すことができ, \( S = \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{S}_{11} & \dot{S}_{12} \\ \, \dot{S}_{21} & \dot{S}_{22} \end{array} \right] \) を S行列と呼びます.

式(4) を用いると, S行列の要素はそれぞれ以下のように表されます.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{S}_{11} = \frac{\dot{b}_1}{\dot{a}_1} \Big{|} _{\dot{a}_{2} = 0} \\ \, \dot{S}_{12} = \frac{\dot{b}_1}{\dot{a}_2} \Big{|} _{\dot{a}_{1} = 0} \\ \, \dot{S}_{21} = \frac{\dot{b}_2}{\dot{a}_1} \Big{|} _{\dot{a}_{2} = 0} \\ \, \dot{S}_{22} = \frac{\dot{b}_2}{\dot{a}_2} \Big{|} _{\dot{a}_{1} = 0} \end{array} \right. \; \cdots \; (5) \end{eqnarray}

S行列とZ行列の関係

S行列と Z行列は入出力が異なるだけで, 同じ回路網を見ています. F行列と Z行列が相互に変換できたように, S行列と Z行列も相互変換可能です. 実際に変換してみましょう.

準備として, まず, 式(3) を少し変形し, 対称的で見やすい式にします.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V} (x) &=& \dot{z}_0 ^{1/2} \; \left( \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \, + \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \right) \\ \, \dot{I} (x) &=& \dot{z}_0 ^{-1/2} \; \left( \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x} \, – \, \dot{B} e^{ \dot{\gamma} x} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (6) \end{eqnarray}

式(3) と 式(6) は \( \dot{A} \) と \( \dot{B} \) が表すものが違うだけで, 全く同じ意味です.

\( x = x_{1} \) における電圧, 電流, 特性インピーダンスをそれぞれ \( \dot{V}_{1}, \dot{I}_{1}, \dot{z}_{1} \) とします. \( \dot{a}_{1} = \dot{A} e^{- \dot{\gamma} x_{1}}, \dot{b}_{1} = \dot{B} e^{- \dot{\gamma} x_{1}} \) なので,

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V}_{1} &=& \dot{z}_1 ^{1/2} \; \left( \dot{a}_{1} + \dot{b}_{1} \right) \\ \, \dot{I}_{1} &=& \dot{z}_1 ^{-1/2} \; \left( \dot{a}_{1} \, – \, \dot{b}_{1} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (7) \end{eqnarray}

と表せます.

式(7) は図3 の左側の各物理量の関係を表しており, 図3 中右側の関係式も同様にして求めることができます.

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, \dot{V}_{2} &=& \dot{z}_2 ^{1/2} \; \left( \dot{a}_{2} \, + \, \dot{b}_{2} \right) \\ \, \dot{I}_{2} &=& \dot{z}_2 ^{-1/2} \; \left( \dot{a}_{2} \, – \, \dot{b}_{2} \right) \end{array} \right. \; \cdots \; (8) \end{eqnarray}

式(7) と式(8) では \(+x\) の方向が逆向きであることにご注意ください.

式(7) と 式(8)から S行列を求めるため, \( \dot{V}, \dot{I}, \dot{a}, \dot{b} \) の関係をまとめます.

\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \, \left( \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{a}_1 \\ \, \dot{a}_2 \end{array} \right] \, + \, \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{b}_1 \\ \, \dot{b}_2 \end{array} \right] \right) \, \\ \, \rm{ } \\ \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \, = \, \left[ \begin{array}{cc} \, 1/ \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & 1/ \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \, \left( \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{a}_1 \\ \, \dot{a}_2 \end{array} \right] \, – \, \left[ \begin{array}{cc} \, \dot{b}_1 \\ \, \dot{b}_2 \end{array} \right] \right) \end{cases} \; \cdots \; (9) \end{eqnarray}

\( U= \, \left[ \begin{array}{cc} \, \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \), \( V = \, \left[ \begin{array}{cc} \, 1/ \sqrt{ \dot{z}_1 } & 0 \\ \, 0 & 1/ \sqrt{ \dot{z}_2 } \end{array} \right] \) を使って書き換えると,

\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} V \, \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, + \, \frac{1}{2} U \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} V \, \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, – \, \frac{1}{2} U \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \end{cases} \; \cdots \; (10) \end{eqnarray}

Z行列を用いれば, \( \left[ \begin{array} \, \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] \, = \, Z \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \) と表されるため,

\begin{eqnarray} \begin{cases} \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, + \, U \right) \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, = \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left[ \begin{array} \, \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] \end{cases} \; \cdots \; (11) \end{eqnarray}

式(11) より,

\begin{eqnarray} \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, &=& \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left[ \, \frac{1}{2} \, \left( VZ \, + \, U \right) \right] ^{-1} \, \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \\ \rm{ } \\ \, \left[ \begin{array} \, \dot{b}_1 \\ \dot{b}_2 \end{array} \right] \, &=& \, \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \, \left[ \begin{array} \, \dot{a}_1 \\ \dot{a}_2 \end{array} \right] \; \cdots \; (12) \end{eqnarray}

よって, \( S = \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \) のように Z行列を用いて S行列を表すことができました.

S ⇔ Z行列の相互変換

式(12) を用いることで, Z行列を S行列に変換できるわけですが, もちろん逆も可能です. S行列を用いて Z行列を表してみましょう.

まずは S行列を整理します.

\begin{eqnarray} S &=& \left( VZ \, – \, U \right) \, \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \\ &=& \left( VZ \, – \, U \right) \, V \, V^{-1} \left( VZ \, + \, U \right) ^{-1} \\ &=& \left( VZV \, – \, E \right) \, \left( VZV \, + \, E \right) ^{-1} \; \; \left( E=UV : 単位行列 \right) \; \cdots \; (13) \end{eqnarray}

S行列を更に変形して, \( Z= \cdots \) という形を目指します.

\begin{eqnarray} S \, \left( VZV \, + E \right) &=& VZV \, – \, E \\ SVZV \, + \, S &=& VZV \, -\, E \\ VZV \, – \, SVZV &=& E \, + \, S \\ \left( E \, – \, S \right) \, VZV &=& E \, + \, S \\ VZV &=& \left( E \, – \, S \right) ^{-1} \, \left( E \, + \, S \right) \\ Z &=& U \, \left( E \, – \, S \right) ^{-1} \, \left( E \, + \, S \right) \, U \; \cdots \; (14) \end{eqnarray}

以上より, Z行列を S行列で表すことができました.

S行列の活用

Z行列や F行列と異なり, 入出力が「電流と電圧」でない S行列は普通の回路の計算に使うことを目的としていません.

S行列が活躍するのは「ネットワークアナライザ」という測定機器を用いて, 分布定数回路の解析をする場合です.

ネットワークアナライザは, 高周波特性（10 GHz程度まで）を調べることを目的とした測定機器です.

ネットワークアナライザでは, 測定対象に正弦波を印加し, 各端子対における電圧の振幅と位相を測定します.

\( \dot{a}_{2} = 0 \) として, 振幅と位相を測れば, 反射係数（ = 反射波 / 入射波 = \( \dot{b}_{1} / \dot{a}_{1} = \dot{S}_{11} \) ）と伝送係数（ = 伝送波 / 入射波 = \( \dot{b}_{2} / \dot{a}_{1} = \dot{S}_{21} \) ）が求められます. 反対方向にも測定を行えば, \( \dot{S}_{22} \) と \( \dot{S}_{12} \) も求められ, S行列を決定できるという仕組みです.

ネットワークアナライザで測定した結果は S行列のパラメータを使って表示されます.

インピーダンスアナライザとネットワークアナライザの測定原理の違いについては「インピーダンスの計測と計測器 (その２) – 計測器・測定器玉手箱 | ORIX Rentec Corporation（外部リンク）」をご覧ください.

Z行列ではダメなのか？

本稿で述べた通り, S行列と Z行列は相互変換できます.

であれば, 結果を Sパラメータで表示する理由はどこにあるのでしょう？測定した結果をネットワークアナライザが内部的に処理して, Zパラメータに変換すれば済む話です.

しかし, この変換をすると「原因が分からなくなる」という問題が生じます.

例えば, Sパラメータにおいては明確な違いとして認識できる数値の変化であっても, Zパラメータにすると他の要因と混ざり, 信号が埋もれて見えなくなってしまう, ということが有り得ます. 元のデータに計算処理を施すほど, 元データの持つ意味は薄れてしまう（ように見える）のです.

上述の通り, インピーダンスアナライザ（電流と電圧の測定）とネットワークアナライザ（反射波と伝送波の測定）では測定原理が異なります. よって, それぞれが『測定しているもの』をより大きく反映する表示方法を用いるべきでしょう.

その意味では, S行列 ⇔ Z行列の相互変換は, 慎重に行わなければなりません.

まとめ

今回のまとめです.

• S行列は 2端子対回路網における入射波と反射波の関係を表す行列である.
• S行列と Z行列は相互に変換できる.
• S行列はネットワークアナライザで測定した結果を表示する際に用いられる.